1. 投影变换

定义:
  向量空间 $C^n$ 中, 子空间 $L$ 与 $M$ 满足 $C^n=L\oplus M$, 对 $\forall x\in C^n$, 分解式 $x=y+z,y\in L,z\in M$ 称变换 $T_{L,M}(x)=y$ 到 $L$ 的投影
性质：
性质 $(1):T_{L,M}$ 是线性变换
性质(2): $R\left(T_{L,M}\right)=L,N\left(T_{L,M}\right)=M$
性质(3): $\forall x\in L\Rightarrow T_{L,M}(x)=x\forall x\in M\Rightarrow T_{L,M}(x)=0$

投影矩阵：
$T_{L,M}(x)=y\iff P_{L,M}x=y$
$x\in L\Rightarrow T_{L,M}(x)=x\Rightarrow P_{L,M}x=x$
$x\in M\Rightarrow T_{L,M}(x)=0\Rightarrow P_{L,M}x=0$

1.1 投影变换相关定理

已知： R ( A ) = { y ∣ y = A x , x ∈ C n } , N ( A ) = { x ∣ A x = 0 , x ∈ C n } R(A)=\left\{y \mid y=A x, x \in C^{n}\right\}, N(A)=\left\{x \mid A x=0, x \in C^{n}\right\} R(A)={y∣y=Ax,x∈Cn},N(A)={x∣Ax=0,x∈Cn}
引理1: $A_{n\times n},A^2=A\Rightarrow N(A)=R(I-A)$
定理1: $P_{n\times n}=P_{L,M}\iff P^2=P$

1.2 已知两个空间，如何得到对应的投影矩阵

先设：
$\dim L=r,L$ 的基为 $x_1,\cdots ,x_r:X=\left(x_1,\cdots ,x_r\right)$
$\dim M=n-r,M$ 的基为 $y_1,\cdots ,y_{n-r}:Y=\left(y_1,\cdots ,y_{n-r}\right)$
所以：
$P_{L,M}{x}_i=x_i\Rightarrow P_{L,M}X=X$
$P_{L,M}{y}_j$

原文：https://blog.csdn.net/a_beatiful_knife/article/details/122102472